재미있는 수학 이야기: 확률의 세계, 동전 던지기의 수학

 

확률이란 무엇인가?

확률은 어떤 사건이 일어날 가능성을 수치로 나타낸 것입니다. 0에서 1 사이의 값을 가지며, 0은 절대 일어나지 않는 사건, 1은 반드시 일어나는 사건을 의미합니다. 예를 들어, 공정한 동전을 던졌을 때 앞면이 나올 확률은 1/2(0.5)입니다.

확률은 크게 세 가지 방식으로 정의할 수 있습니다.

1. 고전적 확률 (Classical Probability)

모든 결과가 동등하게 발생할 가능성이 있을 때 사용합니다. 예를 들어, 주사위를 던질 때 6가지 결과가 모두 동일한 확률로 나옵니다. 이때 어떤 사건 A의 확률은

P(A)=사건 A에 속하는 결과의 수전체 가능한 결과의 수P(A) = \frac{\text{사건 A에 속하는 결과의 수}}{\text{전체 가능한 결과의 수}}P(A)=전체 가능한 결과의 수사건 A에 속하는 결과의 수

로 계산됩니다.

2. 상대도수적 확률 (Relative Frequency)

실험을 여러 번 반복했을 때, 특정 사건이 발생하는 비율로 확률을 정의합니다. 예를 들어, 동전을 1000번 던져 앞면이 512번 나왔다면, 앞면이 나올 확률은 약 0.512입니다. 실험 횟수를 무한히 늘리면 이 값은 이론적 확률에 수렴합니다.

3. 공리적 확률 (Axiomatic Probability)

수학자 콜모고로프가 제안한 확률의 엄밀한 정의로, 확률은 집합 함수로서 다음 세 가지 공리를 만족해야 합니다.

• 공집합의 확률은 0이다. P(∅)=0P(\emptyset) = 0P(∅)=0
• 전체 표본 공간의 확률은 1이다. P(Ω)=1P(\Omega) = 1P(Ω)=1
• 서로 배타적인 사건들의 합의 확률은 각 사건 확률의 합이다.

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확률의 기본 요소

표본 공간 (Sample Space, Ω\OmegaΩ)

모든 가능한 결과들의 집합입니다. 예를 들어, 동전 던지기의 표본 공간은 {앞면,뒷면}\{앞면, 뒷면\}{앞면,뒷면}입니다.

사건 (Event)

표본 공간의 부분집합으로, 관심 있는 결과들의 집합입니다. 예를 들어, 동전 던지기에서 '앞면이 나오는 사건'은 {앞면}\{앞면\}{앞면}입니다.

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동전 던지기 확률의 예

동전을 한 번 던질 때, 앞면이 나올 확률은 1/2, 뒷면이 나올 확률도 1/2입니다. 두 번 던질 때 앞면이 두 번 나올 확률은?

두 번 던지는 경우의 수는 4가지입니다: (앞,앞), (앞,뒤), (뒤,앞), (뒤,뒤)

앞면이 두 번 나오는 경우는 (앞,앞) 한 가지뿐이므로 확률은

P=14=0.25P = \frac{1}{4} = 0.25P=41=0.25

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확률의 법칙들

합의 법칙 (Addition Rule)

두 사건 A, B가 있을 때, A 또는 B가 일어날 확률은

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)

서로 배타적 사건이라면 P(A∩B)=0P(A \cap B) = 0P(A∩B)=0이므로

P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A \cup B) = P(A) + P(B)P(A∪B)=P(A)+P(B)

곱의 법칙 (Multiplication Rule)

두 사건 A, B가 독립적일 때, A와 B가 동시에 일어날 확률은

P(A∩B)=P(A)×P(B)P(A \cap B) = P(A) \times P(B)P(A∩B)=P(A)×P(B)

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확률과 대수의 법칙

확률에서 중요한 개념 중 하나는 **대수의 법칙(Law of Large Numbers)**입니다. 이는 같은 실험을 무한히 반복할 때, 실제 발생 빈도가 이론적 확률에 점점 가까워진다는 원리입니다.

예를 들어, 동전을 10번 던졌을 때 앞면이 7번 나올 수도 있지만, 1,000번, 10,000번 던지면 앞면이 나오는 비율은 점점 0.5에 가까워집니다.

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재미있는 확률 퍼즐

문제 1: 동전 3번 던지기

동전을 3번 던졌을 때, 적어도 한 번 앞면이 나올 확률은?

• 전체 경우의 수: 23=82^3 = 823=8
• 한 번도 앞면이 나오지 않는 경우: (뒤, 뒤, 뒤) 1가지

따라서,

P(적어도 한 번 앞면)=1−P(한 번도 앞면 없음)=1−18=78=0.875P(\text{적어도 한 번 앞면}) = 1 - P(\text{한 번도 앞면 없음}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} = 0.875P(적어도 한 번 앞면)=1−P(한 번도 앞면 없음)=1−81=87=0.875

문제 2: 주사위 두 개 던지기

두 개의 주사위를 던져 합이 7이 될 확률은?

• 전체 경우의 수: 6×6=366 \times 6 = 366×6=36
• 합이 7이 되는 경우: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) 총 6가지

따라서,

P(합이 7)=636=16≈0.1667P(\text{합이 7}) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0.1667P(합이 7)=366=61≈0.1667

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확률의 실제 응용

확률은 도박, 보험, 금융, 의학, 공학 등 다양한 분야에서 활용됩니다.

• 도박: 게임의 승산 계산
• 보험: 사고 발생 확률을 바탕으로 보험료 산정
• 금융: 주식 가격 변동과 리스크 분석
• 의학: 질병 발생 확률과 치료 효과 평가
• 공학: 시스템 고장 확률과 안전성 평가

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확률과 우리의 일상

우리는 매일 확률을 접하며 살아갑니다. 비 오는 날 우산을 챙길지 결정할 때, 교통 체증을 예상할 때, 심지어 친구와 약속 시간을 정할 때도 확률적 사고가 작용합니다.